Question

（本小题满分14分）

已知数列的第1项，且.

（1）计算，，；

（2）猜想的表达式，并用数学归纳法进行证明.

Answer

（1）1，，，；（2），证明见解析.

【解析】第一问中利用已知的递推关系式可知借助于首项1，得到第二项和第三项和第四项。

第二问中，根据第一问中特殊情况，推广到一般，得到猜想，然后结合数学归纳法加以证明即可。

【解析】
（1）由题意，当n=1时，；

当n=2时，；              （1分）

当n=3时，；              （2分）

当n=4时，.                （3分）

（2）猜想.                       （6分）

①当n=1时，猜想显然成立；                     （8分）

②假设当n=k（）时猜想成立，即，    （9分）

那么，，                （11分）

所以，当n=k+1时猜想也成立.                    （12分）

根据①和②，可知猜想对任何都成立.        （14分）