Question

（本小题满分14分）

（本题满分14分）设函数＝，∈R

（1）若＝为的极值点，求实数；

（2）求实数的取值范围，使得对任意的（0,3]，恒有≤4成立.

注：为自然对数的底数。

Answer

（1） 或；（2）.

【解析】第一问利用导数在＝为的极值点，先求导，然后在x=e处的导数值为零得到a的值。

第二问中，要是对任意的（0,3]，恒有≤4成立，只需求解函数y=f(x)在给定区间（0,3]的最大值小于等于4即可。

解:(1)求导得f’(x)=2(x-a)lnx+=()(2ln x+1-).（2分）

 因为x=e是f(x)的极值点，所以f’(e)= ，（3分）

解得 或，经检验，符合题意，所以 或。（4分）

（2）解:①当时，对于任意的实数a,恒有成立，（6分）

    ②当，由题意，首先有，

     解得             （7分）

由（Ⅰ）知，，

则，，

 且

=。               （8分）

又在（0，+∞）内单调递增，所以函数在（0，+∞）内有唯一零

点，记此零点为，则，。从而，当时，；

当时，；当时，，即在内

单调递增，在内单调递减，在内单调递增。     （10分）

所以要使对恒成立，只要

        成立。

，知（3）

将（3）代入（1）得，                   （12分）

又，注意到函数在[1,+∞)内单调递增，故。

再由（3）以及函数2xlnx+x在（1.+ +∞)内单调递增，可得。

由（2）解得，。

所以

综上，a的取值范围为。                （14分）