Question

如图,在四棱椎P－ABCD中,底面ABCD是边长为的正方形,且PD=,PA=PC=.

(1)求证:直线PD⊥面ABCD;

 (2)求二面角A－PB－D的大小.

Answer

（1）见解析   （2）二面角A-PB-D的平面角为

【解析】(1) 本小题可通过证，和来达到证明直线PD⊥面ABCD的目的.（2）解决本小题的关键是作出二面角的平面角，取AP中点H，过H作于G，连结DG.则为所求二面角平面角,然后解三角形求角即可

（1）在中，，即，同理又AD、CD平面ABCD，直线PD…5分

（2）解法一：如图,连结AC和BD，设 

由（1）知，又，且PD、BD平面PBD，直线AC平面PBD，………6分

过点O作E为垂足，连结AE，由三垂线定理知， 为二面角A-PB-D的平面角………8分

AB，所以面ABCD，故ABPD，从而AB面PAD，故ABPA，

在中，………………10分

在中，在中，

二面角A-PB-D的平面角为.…………12分

解法二：取AP中点H，过H作于G，连结DG

则为所求二面角平面角，

解法三：利用空间向量