Question

已知函数，，又函数在单调递减，而在单调递增．

（１）求的值；

（2）求的最小值，使对，有成立；

（３）是否存在正实数，使得在上既有最大值又有最小值？若存在，求出m的取值范围；若不存在，请说明理由.

Answer

（１），（２）满足条件的的最小值为52．  （3）

【解析】(1)由题意知x=1是函数f(x)的极小值点，所以可根据求出a的值.

（2）分别求出f(x)和g(x)在区间[-2,2]上的最值，再求出f(x)-g(x)的取值范围，进而求出|f(x)-g(x)|的最大值即可，那么M的最小值就等于|f(x)-g(x)|的最大值.

（１）由题意知是函数的一个极值点，即，∴，即，

此时，满足条件，∴．………４分

（２）由得，或，列表可得， ，，，，∴当时，；…………………6分

又，∴当时，；………8分

因此，，∴；∴满足条件的的最小值为52．…… 10分

（3）

则得；………12分

要使得存在正实数，使得在上既有最大值又有最小值，则必须，即，且满足

，……………14分

得，即 ∴∴即为所求