Question

已知函数在处取得极值.

（1）讨论和是函数的极大值还是极小值；

（2）过点作曲线的切线，求此切线方程.

Answer

（1）ƒ（-1）=2是极大值，ƒ（1）=-2是极小值

（2）切点坐标为M（-2，-2）,切线方程为9x-y+16=0

【解析】第一问由函数在处取得极值.

说明了ƒ′（1）= ƒ′（-1）=0，得到a,b的值，并代入原式中，判定函数的单调性，得到极值问题。

第二问中，要求过点作曲线的切线，先设出切点坐标，然后结合导数的几何意义得到斜率，表示切线方程，再将A点代入方程中得到点的坐标，求解得到。

解:（1）ƒ′(x)=3ax2+2bx-3，依题意，ƒ′（1）= ƒ′（-1）=0，即

3a+2b-3=0，

3a-2b-3=0.解得a=1，  b=0.

∴ƒ（x）=x3-3x，ƒ′(x)=3x2-3=3（x+1）（x-1）.

令ƒ′(x)=0，得x1=-1，x2=1.

若x∈（-∞，-1）∪（1，+∞），则ƒ′(x)>0,故ƒ（x）在（-∞，-1），（1，+∞）上是增函数.

若x∈（-1,1），则ƒ′(x)<0,故ƒ（x）在（-1,1）上是减函数.

所以ƒ（-1）=2是极大值，ƒ（1）=-2是极小值.

（1）曲线方程为y=x3-3x,点A（0,16）不在曲线上，设切点为M（x0,y0）

则点M的坐标满足y0= x03-3x0，

因为f’(x0)=3(x02-1),故切线方程为

y-y0=3(x02-1)(x-x9)

因为点A在曲线上，则可知16-（x03-3x0）=3(x02-1)(x-x9)

化简得到x0=-2，

所以切点坐标为M（-2，-2）,切线方程为9x-y+16=0