Question

已知函数在处取到极值2．

（Ⅰ）求的值；

（Ⅱ）试研究曲线的所有切线与直线垂直的条数；

（Ⅲ）若对任意，均存在，使得，试求的取值范围．

Answer

（Ⅰ）.           （Ⅱ）当，即或时，满足条件的切线有2条，当，即时，满足条件的切线有1条，当，即时，满足条件的切线不存在．      （Ⅲ）且．  

【解析】（I）根据f(0)=2,建立关于c,d的方程，求出c,d的值.

（II）本小题的实质是判定方程根的个数.然后利用二次函数的图像及性质借助判别式解决即可.

(III)先求f(x)在[1,2]上最小值，然后再求出在[0,1]上的最小值，那么本小题就转化为

（Ⅰ），                  ……………1分

根据题意得解得．                 ……………2分

经检验在处取到极值2．∴.   ……3分

（Ⅱ）即，，… 5分

当，即或时，满足条件的切线有2条，

当，即时，满足条件的切线有1条，

当，即时，满足条件的切线不存在．        ……………8分

（Ⅲ）根据题意可知，                  ……………9分

令，得，当时，；当时，，

所以函数的递减区间为，递增区间为，

故函数在处取得最小值．………11分

在恒成立，

即在恒成立.设，，由得，由得.∴函数在单调递增，在单调递减，∴函数，∴且．