Question

（本小题满分12分）已知数列的前项和为，

（1）若为等差数列，证明为等差数列；

（2）在（1）的条件下，，求数列的前项和；

（3）在（1）（2）的条件下，若存在实数使得对一切,有成立，求的最小值.

Answer

（1）略  

（2）,,

（3）设

 由得，

【解析】本试题主要是考查了数列的通项公式和前n项和的关系式的运用。结合等差数列的定义，证明结论和分析通项公式的特点，合理选用求和公式的运用。以及构造函数的思想，借助于函数的单调性，证明不等式。

（1）中利用为等差数列，得到关系式，然后将前n项和与通项公式的关系互化，可以证明为等差数列。

（2）在第一问的基础上可以得到数列的通项公式，进而得到前n项和的求解。

（3）要证明不等式成立，只要构造函数，利用函数的单调性得到f(n)的最值然后求解得到参数的取值范围。