Question

（本小题满分14分）如图，一简单几何体有五个顶点、、、、，它的一个面内接于⊙，是⊙的直径，四边形为平行四边形，平面．

（1）证明：平面平面；

（2）若，，，求该简单几何体的体积．

Answer

（1）见解析；（2）1.

【解析】第一问要证明面面垂直，关键是证明线面垂直，借助于面面垂直的判定定理得到结论即可即证平面 

第二问中，将该几何体的体积分解为两个三棱锥的体积即可。注意合理分解为两个特殊几何体的体积是解决该试题的关键。

解: (1)证明:平面,平面,

.                       ………1分

是⊙的直径,,    ………2分

又                    ………3分

平面,                  ………4分

平面                  ………5分

又平面                  ………6分

平面平面.                                 ………7分

 (2)设所求简单几何体的体积为,

  平面

平面

平面

在中

                       ………8分

方法一: 连,由(1),(2)知是三棱锥的高,是三棱锥的高

                                       ………9分

              ………11分

                 ………13分

该简单组合体的体积.                              ………14分

方法二:

平面,平面,

.                      

又由(1)知,   

又                   

平面,

 是四棱锥的高,且由(1),(2)证明易知四边形为边长为的正方形.                                               ………10分

                                    ………11分

                                   ………12分

                               ………13分

                                              ………14分