Question

（本小题满分12分）如图，是圆的直径，点在圆上，，交于点，平面，，．

（Ⅰ）证明：；

（Ⅱ）求平面与平面所成的锐二面角的余弦值．

Answer

（1）见解析；（2）.

【解析】(I)本题主要思路还是通过证明线面垂直来证明线线垂直，本小题可以证明：平面,需证：和.

(II)本题可通过传统方法找到二面角的平面角，也可利用向量法求二面角.延长交于，连，过作，连结．可以证明为平面与平面所成的二面角的平面角.然后解三角形即可求角.

（法一）（Ⅰ）平面平面， ．………………………………………………1分

又，

平面

而平面

．  ………………………………………………3分

是圆的直径，．

又，

．

平面，，

平面．

与都是等腰直角三角形．

．

，即（也可由勾股定理证得）．………………5分

，     平面．

而平面，

．  …………………………………………6分

（Ⅱ）延长交于，连，过作，连结．

由（1）知平面，平面，

．

而，平面．

平面，

，

为平面与平面所成的

二面角的平面角．     ……………………8分

在中，，，

．

由，得．

．

又，

，则．    ………………11分

是等腰直角三角形，．

平面与平面所成的锐二面角的余弦值为． ………………12分