Question

（本小题满分12分）直线与椭圆交于，两点，已知，，若且椭圆的离心率，又椭圆经过点，为坐标原点．

（Ⅰ）求椭圆的方程；

（Ⅱ）若直线过椭圆的焦点（为半焦距），求直线的斜率的值；

（Ⅲ）试问：的面积是否为定值？如果是，请给予证明；如果不是，请说明理由.

Answer

（1）；（2）；（3）为定值.

【解析】(I)由e和椭圆上的一个点可以建立关于a,b,c两个方程，再结合可解出a,b的值，进而得到椭圆标准方程，同时要注意焦点位置.

（II）先求出直线l的方程，然后与椭圆方程联立消y后，得到关于x的一元二次方程，再根据0,借助韦达定理建立关于k的方程求出k的值.

(III)先讨论斜率不存在时，面积是否为定值，然后再求当斜率存在时，面积是否为定值，再求面积时要利用弦长公式及点到直线的距离公式.

【解析】
（Ⅰ）∵          …………………2分

∴   

∴椭圆的方程为      ………………3分

  （Ⅱ）依题意，设的方程为

          由

            显然

                ………………5分

         由已知得：

               解得            ……………………6分

      （Ⅲ）①当直线斜率不存在时，即，

由已知，得

            又在椭圆上，

所以

          ,三角形的面积为定值．………7分

           ②当直线斜率存在时：设的方程为

        必须 即

        得到，        ………………9分

         ∵，∴

        代入整理得：              …………………10分

          …………11分

         所以三角形的面积为定值．              …………………12分