Question

（本小题满分14分）

已知函数．

（Ⅰ）当时，如果函数仅有一个零点，求实数的取值范围；

（Ⅱ）当时，试比较与1的大小；

（Ⅲ）求证：．

Answer

（1）或；

（2）①当时，，即；

②当时，，即；

③当时，，即．

（3）见解析.

【解析】(I)本小题的实质是利用导数研究函数f(x)的单调性极值，结合草图，确定出直线y=k与函数y=f(x)的图像有一个公共点时，确定k的取值范围.

(II)当a=2时，可以采用作差法比较f(x)与1的大小，然后构造函数，研究其单调区间最值，从而判断它们之间的大小关系.

(III)解决本小题最佳途径是利用(2)的结论，当时，，即．

令，则有，  然后解本题的另一个关键点判断出,从而证明出.

另外也可以考虑数学归纳法.

【解析】
（Ⅰ）当时，，定义域是，

， 令，得或．  …2分

当或时，，当时，，

   函数在、上单调递增，在上单调递减．  ……………4分

的极大值是，极小值是．

当时，；当时，，

当仅有一个零点时，的取值范围是或．………5分

  （Ⅱ）当时，，定义域为．

      令，

       ，

       在上是增函数．              ……………………7分

①当时，，即；

②当时，，即；

③当时，，即．  …………………………………9分

（Ⅲ）（法一）根据（2）的结论，当时，，即．

令，则有，    ． ……12分

，

．                ………………………14分

 （法二）当时，．

，，即时命题成立．   …………………10分

设当时，命题成立，即 ．

 时，．

根据（Ⅱ）的结论，当时，，即．

令，则有，

则有，即时命题也成立．………13分

因此，由数学归纳法可知不等式成立．                 ………………………14分

（法三）如图，根据定积分的定义，

得．……11分

，

．  ………………………………12分

，

又，，

．

．                …………………………………14分