Question

如图，在底面是正方形的四棱锥P—ABCD中，平面PCD⊥平面ABCD，PC=PD=CD=2.

（I）求证：PD⊥BC；

（II）求二面角B—PD—C的正切值。

Answer

见解析

【解析】解决立体几何问题的，主要有两个策略，一是不建立坐标系，直接利用空间向量基本定理，即将有关向量用空间一组基底表示出来，然后通过向量的有关运算求解；二是建立空间坐标系，通过向量的坐标运算解决问题

方法一：

（I）证明：∵平面PCD⊥平面ABCD，又∵平面PCD∩平面ABCD=CD，BC在平面ABCD内 ，BC⊥CD，∴BC⊥平面PCD.∴PD⊥BC.    …………6分

（II）【解析】
取PD的中点E，连接CE、BE，

为正三角形，

由（I）知BC⊥平面PCD，∴CE是BE在平面PCD内的射影，∴BE⊥PD.

∴∠CEB为二面角B—PD—C的平面角.       …………9分

在         …………12分

方法二：（I）证明：取CD的中点为O，连接PO，

∵PD=PC，∴PO⊥CD，∵平面PCD⊥平面ABCD，

平面PCD∩平面ABCD=CD，∴PO⊥平面ABCD，如图，在平面ABCD内，过O作OM⊥CD交AB于M，以O为原点，OM、OC、OP分别为x、y、z轴，建立空间直角坐标系O—xyz，

由B（2，1，0），C（0，1，0），D（0，-1，0），     …………4分

…6分

（II）【解析】
取PD的中点E，连接CE、BE，则为正三角形，为二面角B—PD—C的平面角.