Question

已知是公差为d的等差数列，是公比为q的等比数列

（Ⅰ）若 ，是否存在，有？请说明理由；

（Ⅱ）若（a、q为常数，且aq0）对任意m存在k，有，试求a、q满足的充要条件；

（Ⅲ）若试确定所有的p,使数列中存在某个连续p项的和式数列中的一项，请证明.

Answer

见解析

【解析】（Ⅰ）利用等差数列的通项结合条件列出式子，从而得到项数的关系；（Ⅱ）利用等比数列的通项结合条件列出式子，从而得到项数的关系；（Ⅲ）分类讨论，然后根据二项式的定义和性质列式，求解即可

（1）由得，整理后，可得、，为整数不存在、，使等式成立。

（2）当时，则

即，其中是大于等于的整数

反之当时，其中是大于等于的整数，则，

显然，其中

、满足的充要条件是，其中是大于等于的整数

（3）设

当为偶数时，式左边为偶数，右边为奇数，

当为偶数时，式不成立。由式得，整理得

当时，符合题意。当，为奇数时，

   由，得

当为奇数时，此时，一定有和使上式一定成立。当为奇数时，命题都成立。