Question

（本小题满分12分）

已知点为圆上的动点，且不在轴上，轴，垂足为，线段中点的轨迹为曲线，过定点任作一条与轴不垂直的直线，它与曲线交于、两点。

（I）求曲线的方程；

（II）试证明：在轴上存在定点，使得总能被轴平分

Answer

（1）；（2）见解析.

【解析】（Ⅰ）利用相关点法把所求点的问题转化已知动点问题，从而得到曲线的轨迹方程；（Ⅱ）联立方程，利用韦达定理及条件转化为点的坐标关系，从而求出点的坐标。

【解析】
（1）设为曲线上的任意一点，则点在圆上，

∴，曲线的方程为．  ………………2分       

（2）设点的坐标为，直线的方程为， ………………3分

代入曲线的方程，可得 ，……5分            

∵，∴，

∴直线与曲线总有两个公共点．（也可根据点M在椭圆的内部得到此结论）

………………6分

设点,的坐标分别, ，则，               

要使被轴平分，只要，            ………………9分

即，，        ………………10分

也就是，，

即，即只要 ………………12分  

当时，（＊）对任意的s都成立，从而总能被轴平分．

所以在x轴上存在定点，使得总能被轴平分．