Question

阅读下面材料：

    根据两角和与差的正弦公式，有

------①

        ------②

由①+② 得------③

令 有

代入③得 .

 (Ⅰ) 类比上述推理方法，根据两角和与差的余弦公式，证明:

;

 (Ⅱ)若的三个内角满足,试判断的形状.

(提示:如果需要，也可以直接利用阅读材料及(Ⅰ)中的结论)

Answer

 (Ⅰ)证明见解析     (Ⅱ) 为直角三角形.

【解析】(1)通过观察可知当相减可得积，然后再令即可证明.

（2）根据二倍角化式可知，

所以，进而得到,所以为直角三角形.

解法一：(Ⅰ)证明:因为，------①

          ，------②……………………………1分

①-② 得.------③…………………2分

令有，

代入③得.……………5分

(Ⅱ)由二倍角公式,可化为

       ,……………………………8分

       所以.……………………………………………9分

设的三个内角A,B,C所对的边分别为，

由正弦定理可得.…………………………………………11分

根据勾股定理的逆定理知为直角三角形.…………………………12分

解法二：(Ⅰ)同解法一.

(Ⅱ)利用(Ⅰ)中的结论和二倍角公式,可化为

         ，……………………8分

         因为A,B,C为的内角，所以，

所以.

又因为，所以,

所以.

从而.……………………………………………9分

又,所以，故.…………………………………11分

所以为直角三角形.