Question

已知函数f（x）=ax+lnx，其中a为常数，设e为自然对数的底数.

(Ⅰ) 当a=-1时，求f（x）的最大值；

(Ⅱ) 若f（x）在区间（0，e］上的最大值为-3，求a的值；

（Ⅲ） 当a=-1时，试推断方程=是否有实数解.

Answer

(1) =f（1）=-1     (2) a=     (3)没有实数解.

【解析】(1)当a=-1,解析式确定，求直接求导，利用导数研究极值，最值即可.(2)因为,所以得讨论：和两种情况分别研究其最大值.然后根据求得的最大值等于-3,建立关于a的方程求a值.

(3) 由（1）知当a=-1时，=f（1）=-1,所以确定,

然后构造函数研究的最大值，看g(x)的最大值能否大于1,若g(x)的最大值小于1,显然无解.否则要进一步判断解的情况

(1) 当a=-1时，f（x）=-x+lnx，f′(x)=－1+ 

当00；当x>1时，f′(x)<0.

∴f（x）在（0，1）上是增函数，在（1，+∞）上是减函数

=f（1）=-1………………………3分

(2) ∵f′(x)=a+，x∈(0,e］，∈

① 若a≥，则f′(x)≥0，从而f(x)在(0,e］上增函数   

 ∴=f（e）=ae+1≥0.不合题意…………………………………4分

② 若a<，则由f′(x)>0>0，即00,g(x)  在(0,e)单调递增；

当x>e时,g′(x)<0，g(x) 在(e,+∞)单调递减

∴=g（e）= <1, ∴g(x)<1 ………………………10分

∴|f（x）|>g(x),即|f(x)|>  ∴方程|f（x）|=没有实数解