Question

阅读下面材料：根据两角和与差的正弦公式，有

------①

------②

由①+② 得------③

令 有

代入③得 .

 (Ⅰ) 类比上述推理方法，根据两角和与差的余弦公式，证明:

;

 (Ⅱ)若的三个内角满足,试判断的形状.

(提示:如果需要，也可以直接利用阅读材料及(Ⅰ)中的结论)

Answer

 (Ⅰ)见解析

(Ⅱ)勾股定理的逆定理知为直角三角形.

【解析】（1）写出两角和与差的余弦公式，两式相减，类比已知条件整理可证结论；

（2）根据二倍角的正弦公式把分别用表示，再由正弦定理分别用表示，已知条件可转化为.所以为直角三角形.也可以用（1）的结论化为角分析

解法一：(Ⅰ)证明:因为，------①

，------②…………………1分

①-② 得.------③……………………2分

令有，

代入③得.………………………………5分

(Ⅱ)由二倍角公式,可化为

,…………………………………8分

所以.…………………………………9分

设的三个内角A,B,C所对的边分别为，

由正弦定理可得.………………………………11分

根据勾股定理的逆定理知为直角三角形.…………………………………12分

解法二：(Ⅰ)同解法一.

(Ⅱ)利用(Ⅰ)中的结论和二倍角公式,可化为

，…………………………………8分

因为A,B,C为的内角，所以，

所以.

又因为，所以,

所以.                                               

从而.……………………………………………9分

又,所以，故.……………………………………11分

所以为直角三角形.