Question

如图，在三棱锥中， 

（1）求证：平面⊥平面

（2）求直线PA与平面PBC所成角的正弦值；

 （3）若动点M在底面三角形ABC上，二面角M-PA-C的余弦值为，求BM的最小值.

Answer

（1）见解析      （2）.                （3）.  

【解析】（1）本题解决的关键是取线段AC中点O,利用等腰三角形和直角三角形的性质得OP⊥OC，OP⊥OB.由线面垂直的判定定理得OP⊥平面ABC,再由面面垂直的判定定理得平面⊥平面  .

（2）由（1）得OB、OC、OP两两垂直，可以O为坐标原点建立空间直角坐标系，然后利用

 空间向量法求出平面PBC的法向量,再根据直线与平面所成角的向量法求解即可.

(3)在(2)的基础上可知平面PAC的法向量,然后再求出平面PAM的法向量, 则根据这两个法向量夹角的余弦值为为,求出直线AM的方程，然后利用点到直线的距离公式可求出B点到AM的最小值.

（1）取AC中点O,因为AP=BP，所以OP⊥OC  由已知易得三角形ABC为直角三角形，∴OA=OB=OC,⊿POA≌⊿POB≌⊿POC,∴OP⊥OB

∴OP⊥平面ABC, ∵OP在平面PAC中，∴平面⊥平面       4分

（2）  以O为坐标原点,OB、OC、OP分别为x、y、z轴建立如图所示空间直角坐标系.

由已知得O(0,0,0),B(2,0,0),A(0,-2,0),C(0,2,0),P(0,0, ),    5分

∴设平面PBC的法向量，

由得方程组

，取                           6分

∴ 

∴直线PA与平面PBC所成角的正弦值为.                             8分

（3）由题意平面PAC的法向量， 设平面PAM的法向量为 ∵又因为

∴  取                      

∴  ∴             11分

∴B点到AM的最小值为垂直距离.