Question

已知圆O：交x轴于A，B两点，曲线C是以AB为长轴，离心率为的椭圆，其左焦点为F．若P是圆O上一点，连结PF，过原点O作直线PF的垂线交直线于点Q．

   （1）求椭圆C的标准方程；

   （2）若点P的坐标为（1，1），求证：直线PQ圆O相切；

   （3）试探究：当点P在圆O上运动时（不与A、B重合），直线PQ与圆O是否保持相切的位置关系？若是，请证明；若不是，请说明理由．

Answer

（1）     （2）见解析   （3）见解析

【解析】(1)由a和e可求出c,进而求出b,椭圆方程确定.

（2）可先求出直线OQ的方程y=-2x.然后求出Q的坐标.从而通过PQ和OQ的斜率证明直线PQ与圆O相切.

(3)根据（2）的解题思路，设，然后利用P的坐标表示出OQ的方程，再求出点Q的坐标，然后根据OP和PQ的斜率之积是否为-1,来判断直线PQ始终与圆O是否相切

（1）因为 则b=1，即椭圆C的标准方程为  3分

（2）因为P（1，1），所以

所以，所以直线OQ的方程为y= —2x.       4分

又Q在直线上，所以点Q（—2，4） 

    即PQ⊥OQ，故直线PQ与圆O相切，               7分

（3）当点P在圆O上运动时，直线PQ与圆P保持相切的位置关系

设，则

所以直线OQ的方程为            所以点Q  

所以                9分

                       10分

所以，即OP⊥PQ（P不与A、B重合），

故直线PQ始终与圆O相切.                    12分