Question

如图，某旅游区拟在公路（南北向）旁开发一个抛物线形的人工湖，湖沿岸上每一点到公路的距离与到处的距离相等，并在湖中建造一个三角形的游乐区，三个顶点都在湖沿岸上，直线通道经过处.经测算，在公路正东方向米处，在的正西方向米处，现以点为坐标原点，以线段所在直线为轴建立平面直角坐标系，

（1）求抛物线的方程

（2）试确定直线通道的位置，使得三角形游乐区的面积最小，并求出最小值

Answer

（1）（2）当时，即时，取得最小值

【解析】(1)因为抛物线的开口向右，所以可设其方程为,

再根据焦点坐标，可确定抛物线方程.

(2)设直线MN的方程为,它与抛物线方程联立，消x后得到关于y的一元二次方程，利用弦长公式求出高的值，然后再求出|AC|的值，进而求出.

（1）依题意，设所求的抛物线方程为：………1分

  抛物线的焦点，，故所求的方程为：…4分

（2）设点，，直线的方程为：

联立消去，得; …6分

,…7分

…9分

…11分

当时，即时，取得最小值