Question

如图所示，已知直三棱柱ABC–A′B′C′，AC =AB =AA，=2，AC，AB，AA′两两垂直，  E，F，H分别是AC，AB，BC的中点， 

（I）证明：EF⊥AH；   

   （II）求平面EFC与平面BB′C′所成夹角的余弦值．

Answer

（Ⅰ）见解析   （Ⅱ）.

【解析】(I)证明线线垂直，可以通过证明线面垂直来解决。本小题连接,分别是的中点后，可知,这样可以通过证面,得，故.

(II)以A为原点，AB、AA`、AC所在直线分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系A-xyz，然后分别求出平面EFC和平面BB′C′的法向量，利用向量法求出二面角的余弦值

（Ⅰ）如图连接,分别是的中点,

故是的中位线，，………………2分

又由,两两垂直知，

，又面,面，则…………4分

即面,则，故.…………………………6分

（Ⅱ）如图建立空间坐标系，

,

………………………………8分

显然=0，故

不妨设面的法向量为

，

即：，

不妨令，………………10分

易知面，不妨令面的法向量为

设面与面夹角为，