Question

已知圆N:（x+2）²+y²=8和抛物线C: y²= 2x，圆N的切线l与抛物线C交于不同的两点A，B.

（I）当直线l的斜率为1时，求线段AB的长；

（II）设点M和点N关于直线y=x对称，问是否存在直线l，使得?若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由．

Answer

 （1） .（2）.

【解析】(I)直线l的方程为y=x+m,根据直线l与圆相切，求出m值，然后再与抛物线方程联立，根据弦长公式求出AB的值。

（II）由于点M与点N关于直线y=x对称，从而可求出M的坐标，然后利用,把此条件用坐标表示出来，借助韦达定理建立关于k的方程，求出k值，再验证是否满足判别式大于零

因为圆N：，所以圆心N为（-2,0），半径，

………1分

设，，

  （1）当直线的斜率为1时，设的方程为即，因为直线是圆N的切线，所以，解得或（舍去）

         此时直线的方程为， ………………3分

由 消去得，所以，，，

所以弦长 .……………………6分

（2）①设直线的方程为即（），

          因为直线是圆N的切线，所以，

得  ①………………8分

由 消去得 ，

所以即且， ，.

因为点M和点N关于直线对称，所以点M为

所以，，

因为，所以+ ，……9分

将A，B在直线上代入化简得，

.

代入，得  

化简得      ………②

①+②得

即，解得或 

       当时，代入①解得，满足条件且，

             此时直线的方程为；

       当时，代入①整理得 ，无解.………………11分

②                当直线的斜率不存在时，因为直线是圆N的切线，所以的方程为，则得，，

即

       由①得：

       =

  当直线的斜率不存在时不成立.

综上所述，存在满足条件的直线，其方程为.