Question

设函数

   （I）设；

   （II）求的单调区间；

   （III）当恒成立，求实数t的取值范围。

Answer

(I)    (II)当时，函数的减区间为，无增区间，

    当时，函数的减区间为，增区间为．(III) 即为所求．

【解析】(I)先求出g(x)的表达式，

然后再利用积分公式求积分即可。

(II)先求出f(x)的导函数,

然后分a=0,a>0,a<0三种情况进行讨论求其单调区间。

(III)由（II）得,

因为a>0,所以,

然后把看作整体x,再构造,求其最大值，让m(x)的最大值小于零即可

(I)

                                                             …………1分

当时，， .…………2分

      .…………4分

(II)，…………5分

    当时，，

所以函数的减区间为，无增区间；…………6分

当时，，

若，由得，由得， 

所以函数的减区间为，增区间为；…………7分

若，此时，所以，

所以函数的减区间为，无增区间；  …………8分

综上所述，当时，函数的减区间为，无增区间，

当时，函数的减区间为，增区间为．…………9分

(III) 由(II)得，，…………10分

因为，所以，

令，则恒成立，

由于，

① 当时，，故函数在上是减函数，所以成立； 

② 当时，若得，故函数在上是增函数，

即对，，与题意不符；

综上所述，可以知道，即为所求