Question

（本小题满分12分）在平面直角坐标系中，已知点，P是动点，且三角形的三边所在直线的斜率满足．

（Ⅰ）求点P的轨迹的方程；

（Ⅱ）若Q 是轨迹上异于点的一个点，且，直线与交于点M，试探

究：点M的横坐标是否为定值？并说明理由．

Answer

（1）（且）；（2）点M的横坐标为定值．

【解析】第一问利用已知的斜率关系式，设点的坐标代入即可得到轨迹方程。

第二问中，由由可知直线，则，然后设出点P,Q的坐标，然后表示一个关系式，然后利用由三点共线可知，同理得到关系式，联立解得。

【解析】
（Ⅰ）设点为所求轨迹上的任意一点，则由得

， …………2分

整理得轨迹的方程为（且），                    …………4分

（Ⅱ）设，

由可知直线，则，

故，即， …………6分

由三点共线可知，与共线，

∴ ，

由（Ⅰ）知，故，              …………8分

同理，由与共线，

∴ ，即，

由（Ⅰ）知，故，                  …………10分

将，代入上式得，

整理得，

由得，即点M的横坐标为定值．         ………………………12分

（方法二）

设

由可知直线，则，

故，即，                          …………6分

∴直线OP方程为：   ①；                          …………8分

直线QA的斜率为：，             

∴直线QA方程为：，即  ②；……10分

联立①②，得，∴点M的横坐标为定值．   ………………………12分