Question

如图，在四棱锥中，底面，是直角梯形，，，是的中点。

（1）求证：平面平面（4分）

（2）若二面角的余弦值为，求直线与平面所成角的正弦值．（8分）

Answer

（Ⅰ）见解析（Ⅱ）直线PA与平面EAC所成角的正弦值为．  

【解析】（1）先由线线垂直证明线面垂直，然后再证明面面垂直；（2）建立空间直角坐标系，然后利用直线的方向向量与平面的法向量的夹角与线面角互余求解

（Ⅰ）∵PC⊥平面ABCD，ACÌ平面ABCD，∴AC⊥PC，∵AB＝2，AD＝CD＝2，∴AC＝BC＝，

∴AC2＋BC2＝AB2，∴AC⊥BC，又BC∩PC＝C，∴AC⊥平面PBC，∵ACÌ平面EAC，∴平面EAC⊥平面PBC． 

（Ⅱ）如图，以C为原点，、、分别为x轴、y轴、z轴正向，建立空间直角坐标系，则C(0，0，0)，A(1，1，0)，B(1，－1，0)．设P(0，0，a)（a＞0），

则E(，－，)，        ＝(1，1，0)，＝(0，0，a)，

＝(，－，)，取m＝(1，－1，0)，则m·＝m·＝0，m为面PAC的法向量．设n＝(x，y，z)为面EAC的法向量，则n·＝n·=0，

即取x＝a，y＝－a，z＝－2，则n＝(a，－a，－2)，

依题意，|cosám，nñ|＝，则a＝2．…10分

于是n＝(2，－2，－2)，＝(1，1，－2)．

设直线PA与平面EAC所成角为θ，则sinθ＝|cosá，nñ|＝，

即直线PA与平面EAC所成角的正弦值为