Question

如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形，，BC=1，，PD=CD=2.

（I）求异面直线PA与BC所成角的正切值；

（II）证明平面PDC⊥平面ABCD；

（III）求直线PB与平面ABCD所成角的正弦值。

【考点定位】本小题主要考查异面直线所成的角、平面与平面垂直、直线与平面所成的角等基础知识.，考查空间想象能力、运算求解能力和推理论证能力.

Answer

（I）2   (2)见解析    （3）

【解析】（I）【解析】
如图，在四棱锥P-ABCD中，因为底面ABCD是矩形，所以AD=BC且AD∥BC，又因为,故为异面直线PA与BC所成的角.在中，

所以，异面直线PA与BC所成的角的正切值为2.

（II）证明：由于底面ABCD为矩形，故，又由于，，因此而.所以.

（III）【解析】
在平面PDC中，过点P作交直线CD于点E，连接EB.

由于，而直线CD是平面PDC与平面ABCD所成的角.

在中，由于PD=CD=2，，可得.

在中，

由AD∥BC，，得，因此.

在中，

在中，

所以直线PB与平面ABCD所成角的正弦值为