已知
是等差数列，其前n项和为Sn，
是等比数列，且
，
.
（Ⅰ）求数列与的通项公式；
（Ⅱ）记
，
，证明
（）.
【解析】（1）设等差数列
的公差为d，等比数列
的公比为q.
由
，得
，
，
.
由条件，得方程组
，解得
所以
，
，
.
（2）证明：（方法一）
由（1）得
①
②
由②-①得
而
故
，
（方法二：数学归纳法）
① 当n=1时，
，
，故等式成立.
② 假设当n=k时等式成立，即
，则当n=k+1时，有：
即
，因此n=k+1时等式也成立
由①和②，可知对任意，成立.
如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，AC⊥AD，AB⊥BC，∠BAC=45°，PA=AD=2，AC=1.
（Ⅰ）证明PC⊥AD；
（Ⅱ）求二面角A-PC-D的正弦值；
（Ⅲ）设E为棱PA上的点，满足异面直线BE与CD所成的角为30°，求AE的长.
【解析】解法一：如图，以点A为原点建立空间直角坐标系，依题意得A(0,0,0)，D(2,0,0),C(0,1,0), 
,P（0,0,2）.
（1）证明：易得
，
于是
,所以
(2) ,
设平面PCD的法向量
，
则
,即
.不防设
，可得
.可取平面PAC的法向量
于是
从而
.
所以二面角A-PC-D的正弦值为
.
（3）设点E的坐标为（0,0，h），其中
，由此得
.
由，故
所以，
，解得
，即
.
解法二：（1）证明：由
，可得
，又由
,
,故
.又
,所以.
(2)如图，作
于点H，连接DH.由,
,可得
.
因此
,从而
为二面角A-PC-D的平面角.在
中，
,由此得
由（1）知
,故在
中，
因此
所以二面角
的正弦值为.
（3）如图，因为
，故过点B作CD的平行线必与线段AD相交，设交点为F，连接BE，EF. 故
或其补角为异面直线BE与CD所成的角.由于BF∥CD，故
.在
中，
故
在
中，由
,
,
可得
.由余弦定理，
,
所以.
现有4个人去参加某娱乐活动，该活动有甲、乙两个游戏可供参加者选择.为增加趣味性，约定：每个人通过掷一枚质地均匀的骰子决定自己去参加哪个游戏，掷出点数为1或2的人去参加甲游戏，掷出点数大于2的人去参加乙游戏.
（Ⅰ）求这4个人中恰有2人去参加甲游戏的概率；
（Ⅱ）求这4个人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数的概率；
（Ⅲ）用X，Y分别表示这4个人中去参加甲、乙游戏的人数，记
，求随机变量
的分布列与数学期望
.
【解析】依题意，这4个人中，每个人去参加甲游戏的概率为
，去参加乙游戏的概率为
.
设“这4个人中恰有i人去参加甲游戏”为事件
则
.
（1）这4个人中恰有2人去参加甲游戏的概率
（2）设“这4个人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数”为事件B，则
.由于
互斥，故
所以，这个人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数的概率为
.
（3）的所有可能取值为0,2,4.由于
互斥，
互斥，故
所以的分布列是
|
|
0 |
2 |
4 |
|
P |
|
|
|
随机变量的数学期望
.
已知函数
（Ⅰ）求函数
的最小正周期；
（Ⅱ）求函数在区间
上的最大值和最小值.
【解析】（1）
所以，的最小正周期
（2）因为在区间
上是增函数，在区间
上是减函数，
又
，
，
，
故函数在区间
上的最大值为
，最小值为-1.
已知函数
的图象与函数
的图象恰有两个交点，则实数k的取值范围是_________.
如图，已知AB和AC是圆的两条弦，过点B作圆的切线与AC的延长线相交于点D. 过点C作BD的平行线与圆相交于点E，与AB相交于点F，AF=3，FB=1，EF=
，则线段CD的长为____________.
