设椭圆的左、右顶点分别为
,点
在椭圆上且异于
两点,
为坐标原点.
(Ⅰ)若直线与
的斜率之积为
,求椭圆的离心率;
(Ⅱ)若,证明直线
的斜率
满足
【解析】(1)【解析】
设点P的坐标为.由题意,有
①
由,得
,
由,可得
,代入①并整理得
由于,故
.于是
,所以椭圆的离心率
(2)证明:(方法一)
依题意,直线OP的方程为,设点P的坐标为
.
由条件得消去
并整理得
②
由,
及
,
得.
整理得.而
,于是
,代入②,
整理得
由,故
,因此
.
所以.
(方法二)
依题意,直线OP的方程为,设点P的坐标为
.
由P在椭圆上,有
因为,
,所以
,即
③
由,
,得
整理得
.
于是,代入③,
整理得
解得,
所以.
已知是等差数列,其前n项和为Sn,
是等比数列,且
,
.
(Ⅰ)求数列与
的通项公式;
(Ⅱ)记,
,证明
(
).
【解析】(1)设等差数列的公差为d,等比数列
的公比为q.
由,得
,
,
.
由条件,得方程组,解得
所以,
,
.
(2)证明:(方法一)
由(1)得
①
②
由②-①得
而
故,
(方法二:数学归纳法)
① 当n=1时,,
,故等式成立.
② 假设当n=k时等式成立,即,则当n=k+1时,有:
即,因此n=k+1时等式也成立
由①和②,可知对任意,
成立.
如图,在四棱锥P-ABCD中,PA⊥平面ABCD,AC⊥AD,AB⊥BC,∠BAC=45°,PA=AD=2,AC=1.
(Ⅰ)证明PC⊥AD;
(Ⅱ)求二面角A-PC-D的正弦值;
(Ⅲ)设E为棱PA上的点,满足异面直线BE与CD所成的角为30°,求AE的长.
【解析】解法一:如图,以点A为原点建立空间直角坐标系,依题意得A(0,0,0),D(2,0,0),C(0,1,0), ,P(0,0,2).
(1)证明:易得,
于是
,所以
(2) ,
设平面PCD的法向量
,
则,即
.不防设
,可得
.可取平面PAC的法向量
于是
从而
.
所以二面角A-PC-D的正弦值为.
(3)设点E的坐标为(0,0,h),其中,由此得
.
由,故
所以,,解得
,即
.
解法二:(1)证明:由,可得
,又由
,
,故
.又
,所以
.
(2)如图,作于点H,连接DH.由
,
,可得
.
因此,从而
为二面角A-PC-D的平面角.在
中,
,由此得
由(1)知
,故在
中,
因此所以二面角
的正弦值为
.
(3)如图,因为,故过点B作CD的平行线必与线段AD相交,设交点为F,连接BE,EF. 故
或其补角为异面直线BE与CD所成的角.由于BF∥CD,故
.在
中,
故
在中,由
,
,
可得.由余弦定理,
,
所以.
现有4个人去参加某娱乐活动,该活动有甲、乙两个游戏可供参加者选择.为增加趣味性,约定:每个人通过掷一枚质地均匀的骰子决定自己去参加哪个游戏,掷出点数为1或2的人去参加甲游戏,掷出点数大于2的人去参加乙游戏.
(Ⅰ)求这4个人中恰有2人去参加甲游戏的概率;
(Ⅱ)求这4个人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数的概率;
(Ⅲ)用X,Y分别表示这4个人中去参加甲、乙游戏的人数,记,求随机变量
的分布列与数学期望
.
【解析】依题意,这4个人中,每个人去参加甲游戏的概率为,去参加乙游戏的概率为
.
设“这4个人中恰有i人去参加甲游戏”为事件
则.
(1)这4个人中恰有2人去参加甲游戏的概率
(2)设“这4个人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数”为事件B,则.由于
互斥,故
所以,这个人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数的概率为.
(3)的所有可能取值为0,2,4.由于
互斥,
互斥,故
所以的分布列是
|
0 |
2 |
4 |
P |
|
|
|
随机变量的数学期望
.
已知函数
(Ⅰ)求函数的最小正周期;
(Ⅱ)求函数在区间
上的最大值和最小值.
【解析】(1)
所以,
的最小正周期
(2)因为在区间
上是增函数,在区间
上是减函数,
又,
,
,
故函数在区间
上的最大值为
,最小值为-1.
已知函数的图象与函数
的图象恰有两个交点,则实数k的取值范围是_________.