满分5 > 高中数学试题 >

已知函数的最小值为0,其中 (Ⅰ)求的值; (Ⅱ)若对任意的有≤成立,求实数的最...

已知函数6ec8aac122bd4f6e的最小值为0,其中6ec8aac122bd4f6e

(Ⅰ)求6ec8aac122bd4f6e的值;

(Ⅱ)若对任意的6ec8aac122bd4f6e6ec8aac122bd4f6e6ec8aac122bd4f6e成立,求实数6ec8aac122bd4f6e的最小值;

(Ⅲ)证明6ec8aac122bd4f6e6ec8aac122bd4f6e).

【解析】(1)【解析】
6ec8aac122bd4f6e的定义域为6ec8aac122bd4f6e

6ec8aac122bd4f6e

6ec8aac122bd4f6e,得6ec8aac122bd4f6e

当x变化时,6ec8aac122bd4f6e6ec8aac122bd4f6e的变化情况如下表:

x

6ec8aac122bd4f6e

6ec8aac122bd4f6e

6ec8aac122bd4f6e

6ec8aac122bd4f6e

-

0

+

6ec8aac122bd4f6e

6ec8aac122bd4f6e

极小值

6ec8aac122bd4f6e

因此,6ec8aac122bd4f6e6ec8aac122bd4f6e处取得最小值,故由题意6ec8aac122bd4f6e,所以6ec8aac122bd4f6e

(2)【解析】
6ec8aac122bd4f6e时,取6ec8aac122bd4f6e,有6ec8aac122bd4f6e,故6ec8aac122bd4f6e时不合题意.当6ec8aac122bd4f6e时,令6ec8aac122bd4f6e,即6ec8aac122bd4f6e

6ec8aac122bd4f6e

6ec8aac122bd4f6e,得6ec8aac122bd4f6e

①当6ec8aac122bd4f6e时,6ec8aac122bd4f6e6ec8aac122bd4f6e6ec8aac122bd4f6e上恒成立。因此6ec8aac122bd4f6e6ec8aac122bd4f6e上单调递减.从而对于任意的6ec8aac122bd4f6e,总有6ec8aac122bd4f6e,即6ec8aac122bd4f6e6ec8aac122bd4f6e上恒成立,故6ec8aac122bd4f6e符合题意.

②当6ec8aac122bd4f6e时,6ec8aac122bd4f6e,对于6ec8aac122bd4f6e6ec8aac122bd4f6e,故6ec8aac122bd4f6e6ec8aac122bd4f6e上单调递增.因此当取6ec8aac122bd4f6e时,6ec8aac122bd4f6e,即6ec8aac122bd4f6e不成立.

6ec8aac122bd4f6e不合题意.

综上,k的最小值为6ec8aac122bd4f6e.

(3)证明:当n=1时,不等式左边=6ec8aac122bd4f6e=右边,所以不等式成立.

6ec8aac122bd4f6e时,6ec8aac122bd4f6e

                       6ec8aac122bd4f6e

                       6ec8aac122bd4f6e

在(2)中取6ec8aac122bd4f6e,得6ec8aac122bd4f6e 6ec8aac122bd4f6e

从而6ec8aac122bd4f6e6ec8aac122bd4f6e

所以有6ec8aac122bd4f6e

      6ec8aac122bd4f6e

      6ec8aac122bd4f6e

      6ec8aac122bd4f6e

      6ec8aac122bd4f6e

       6ec8aac122bd4f6e

综上,6ec8aac122bd4f6e6ec8aac122bd4f6e

 

(1)      (2)   (3) 见解析 【考点定位】本小题主要考查导数的运算,利用导数研究函数的单调性,不等式基础知识.考查函数思想、分类讨论思想.考查综合分析和解决问题的能力.试题分为三问,题面比较简单,给出的函数比较常规,因此入手对于同学们来说没有难度,第二问中,解含参数的不等式时,要注意题中参数的讨论所有的限制条件,从而做到不重不漏;第三问中,证明不等式,应借助于导数证不等式的方法进行.
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考点分析:
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设椭圆6ec8aac122bd4f6e的左、右顶点分别为6ec8aac122bd4f6e,点6ec8aac122bd4f6e在椭圆上且异于6ec8aac122bd4f6e两点,6ec8aac122bd4f6e为坐标原点.

(Ⅰ)若直线6ec8aac122bd4f6e6ec8aac122bd4f6e的斜率之积为6ec8aac122bd4f6e,求椭圆的离心率;

(Ⅱ)若6ec8aac122bd4f6e,证明直线6ec8aac122bd4f6e的斜率 6ec8aac122bd4f6e满足6ec8aac122bd4f6e

【解析】(1)【解析】
设点P的坐标为6ec8aac122bd4f6e.由题意,有6ec8aac122bd4f6e  ①

6ec8aac122bd4f6e,得6ec8aac122bd4f6e6ec8aac122bd4f6e

6ec8aac122bd4f6e,可得6ec8aac122bd4f6e,代入①并整理得6ec8aac122bd4f6e

由于6ec8aac122bd4f6e,故6ec8aac122bd4f6e.于是6ec8aac122bd4f6e,所以椭圆的离心率6ec8aac122bd4f6e

(2)证明:(方法一)

依题意,直线OP的方程为6ec8aac122bd4f6e,设点P的坐标为6ec8aac122bd4f6e.

由条件得6ec8aac122bd4f6e消去6ec8aac122bd4f6e并整理得6ec8aac122bd4f6e  ②

6ec8aac122bd4f6e6ec8aac122bd4f6e6ec8aac122bd4f6e

6ec8aac122bd4f6e.

整理得6ec8aac122bd4f6e.而6ec8aac122bd4f6e,于是6ec8aac122bd4f6e,代入②,

整理得6ec8aac122bd4f6e

6ec8aac122bd4f6e,故6ec8aac122bd4f6e,因此6ec8aac122bd4f6e.

所以6ec8aac122bd4f6e.

(方法二)

依题意,直线OP的方程为6ec8aac122bd4f6e,设点P的坐标为6ec8aac122bd4f6e.

由P在椭圆上,有6ec8aac122bd4f6e

因为6ec8aac122bd4f6e6ec8aac122bd4f6e,所以6ec8aac122bd4f6e,即6ec8aac122bd4f6e   ③

6ec8aac122bd4f6e6ec8aac122bd4f6e,得6ec8aac122bd4f6e整理得6ec8aac122bd4f6e.

于是6ec8aac122bd4f6e,代入③,

整理得6ec8aac122bd4f6e

解得6ec8aac122bd4f6e

所以6ec8aac122bd4f6e.

 

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已知6ec8aac122bd4f6e是等差数列,其前n项和为Sn6ec8aac122bd4f6e是等比数列,且6ec8aac122bd4f6e6ec8aac122bd4f6e.

(Ⅰ)求数列6ec8aac122bd4f6e6ec8aac122bd4f6e的通项公式;

(Ⅱ)记6ec8aac122bd4f6e6ec8aac122bd4f6e,证明6ec8aac122bd4f6e6ec8aac122bd4f6e).

【解析】(1)设等差数列6ec8aac122bd4f6e的公差为d,等比数列6ec8aac122bd4f6e的公比为q.

6ec8aac122bd4f6e,得6ec8aac122bd4f6e6ec8aac122bd4f6e6ec8aac122bd4f6e.

由条件,得方程组6ec8aac122bd4f6e,解得6ec8aac122bd4f6e

所以6ec8aac122bd4f6e6ec8aac122bd4f6e6ec8aac122bd4f6e.

(2)证明:(方法一)

由(1)得

6ec8aac122bd4f6e     ①

6ec8aac122bd4f6e   ②

由②-①得

6ec8aac122bd4f6e

6ec8aac122bd4f6e

6ec8aac122bd4f6e

6ec8aac122bd4f6e

6ec8aac122bd4f6e6ec8aac122bd4f6e

(方法二:数学归纳法)

①  当n=1时,6ec8aac122bd4f6e6ec8aac122bd4f6e,故等式成立.

②  假设当n=k时等式成立,即6ec8aac122bd4f6e,则当n=k+1时,有:

6ec8aac122bd4f6e

6ec8aac122bd4f6e

6ec8aac122bd4f6e

6ec8aac122bd4f6e

    6ec8aac122bd4f6e

    6ec8aac122bd4f6e

6ec8aac122bd4f6e,因此n=k+1时等式也成立

由①和②,可知对任意6ec8aac122bd4f6e6ec8aac122bd4f6e成立.

 

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如图,在四棱锥P-ABCD中,PA⊥平面ABCD,AC⊥AD,AB⊥BC,∠BAC=45°,PA=AD=2,AC=1.

(Ⅰ)证明PC⊥AD;

(Ⅱ)求二面角A-PC-D的正弦值;

(Ⅲ)设E为棱PA上的点,满足异面直线BE与CD所成的角为30°,求AE的长.

 6ec8aac122bd4f6e

【解析】解法一:如图,以点A为原点建立空间直角坐标系,依题意得A(0,0,0),D(2,0,0),C(0,1,0), 6ec8aac122bd4f6e,P(0,0,2).

6ec8aac122bd4f6e

(1)证明:易得6ec8aac122bd4f6e6ec8aac122bd4f6e于是6ec8aac122bd4f6e,所以6ec8aac122bd4f6e

(2) 6ec8aac122bd4f6e,6ec8aac122bd4f6e设平面PCD的法向量6ec8aac122bd4f6e

6ec8aac122bd4f6e,即6ec8aac122bd4f6e.不防设6ec8aac122bd4f6e,可得6ec8aac122bd4f6e.可取平面PAC的法向量6ec8aac122bd4f6e于是6ec8aac122bd4f6e从而6ec8aac122bd4f6e.

所以二面角A-PC-D的正弦值为6ec8aac122bd4f6e.

(3)设点E的坐标为(0,0,h),其中6ec8aac122bd4f6e,由此得6ec8aac122bd4f6e.

6ec8aac122bd4f6e,故6ec8aac122bd4f6e 

所以,6ec8aac122bd4f6e,解得6ec8aac122bd4f6e,即6ec8aac122bd4f6e.

解法二:(1)证明:由6ec8aac122bd4f6e,可得6ec8aac122bd4f6e,又由6ec8aac122bd4f6e,6ec8aac122bd4f6e,故6ec8aac122bd4f6e.又6ec8aac122bd4f6e,所以6ec8aac122bd4f6e.

6ec8aac122bd4f6e

(2)如图,作6ec8aac122bd4f6e于点H,连接DH.由6ec8aac122bd4f6e,6ec8aac122bd4f6e,可得6ec8aac122bd4f6e.

因此6ec8aac122bd4f6e,从而6ec8aac122bd4f6e为二面角A-PC-D的平面角.在6ec8aac122bd4f6e中,6ec8aac122bd4f6e,由此得6ec8aac122bd4f6e由(1)知6ec8aac122bd4f6e,故在6ec8aac122bd4f6e中,6ec8aac122bd4f6e

因此6ec8aac122bd4f6e所以二面角6ec8aac122bd4f6e的正弦值为6ec8aac122bd4f6e.

(3)如图,因为6ec8aac122bd4f6e,故过点B作CD的平行线必与线段AD相交,设交点为F,连接BE,EF. 故6ec8aac122bd4f6e或其补角为异面直线BE与CD所成的角.由于BF∥CD,故6ec8aac122bd4f6e.在6ec8aac122bd4f6e中,6ec8aac122bd4f6e6ec8aac122bd4f6e

6ec8aac122bd4f6e

6ec8aac122bd4f6e中,由6ec8aac122bd4f6e,6ec8aac122bd4f6e,6ec8aac122bd4f6e

可得6ec8aac122bd4f6e.由余弦定理,6ec8aac122bd4f6e,

所以6ec8aac122bd4f6e.

 

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现有4个人去参加某娱乐活动,该活动有甲、乙两个游戏可供参加者选择.为增加趣味性,约定:每个人通过掷一枚质地均匀的骰子决定自己去参加哪个游戏,掷出点数为1或2的人去参加甲游戏,掷出点数大于2的人去参加乙游戏.

(Ⅰ)求这4个人中恰有2人去参加甲游戏的概率;

(Ⅱ)求这4个人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数的概率;

(Ⅲ)用X,Y分别表示这4个人中去参加甲、乙游戏的人数,记6ec8aac122bd4f6e,求随机变量6ec8aac122bd4f6e的分布列与数学期望6ec8aac122bd4f6e.

【解析】依题意,这4个人中,每个人去参加甲游戏的概率为6ec8aac122bd4f6e,去参加乙游戏的概率为6ec8aac122bd4f6e.

设“这4个人中恰有i人去参加甲游戏”为事件6ec8aac122bd4f6e6ec8aac122bd4f6e

6ec8aac122bd4f6e.

(1)这4个人中恰有2人去参加甲游戏的概率6ec8aac122bd4f6e

(2)设“这4个人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数”为事件B,则6ec8aac122bd4f6e.由于6ec8aac122bd4f6e互斥,故6ec8aac122bd4f6e

所以,这个人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数的概率为6ec8aac122bd4f6e.

(3)6ec8aac122bd4f6e的所有可能取值为0,2,4.由于6ec8aac122bd4f6e互斥,6ec8aac122bd4f6e互斥,故6ec8aac122bd4f6e

6ec8aac122bd4f6e     6ec8aac122bd4f6e

所以6ec8aac122bd4f6e的分布列是

6ec8aac122bd4f6e

0

2

4

P

6ec8aac122bd4f6e

6ec8aac122bd4f6e

6ec8aac122bd4f6e

随机变量6ec8aac122bd4f6e的数学期望6ec8aac122bd4f6e.

 

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已知函数6ec8aac122bd4f6e

(Ⅰ)求函数6ec8aac122bd4f6e的最小正周期;

(Ⅱ)求函数6ec8aac122bd4f6e在区间6ec8aac122bd4f6e上的最大值和最小值.

【解析】(1)6ec8aac122bd4f6e

6ec8aac122bd4f6e6ec8aac122bd4f6e所以,6ec8aac122bd4f6e的最小正周期6ec8aac122bd4f6e

(2)因为6ec8aac122bd4f6e在区间6ec8aac122bd4f6e上是增函数,在区间6ec8aac122bd4f6e上是减函数,

6ec8aac122bd4f6e6ec8aac122bd4f6e6ec8aac122bd4f6e

故函数6ec8aac122bd4f6e在区间6ec8aac122bd4f6e上的最大值为6ec8aac122bd4f6e,最小值为-1.

 

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