Question

（本小题满分12分）

如图1，，，过动点A作，垂足D在线段BC上且异于点B，连接AB，沿将△折起，使（如图2所示）．

（Ⅰ）当的长为多少时，三棱锥的体积最大；

（Ⅱ）当三棱锥的体积最大时，设点，分别为棱，的中点，试在棱上确定一点，使得，并求与平面所成角的大小．

Answer

（Ⅰ）（Ⅱ）与平面所成角的大小

【解析】本题考察立体几何线面的基本关系，考察如何取到最值，用均值不等式和导数均可求最值。同时考察直线与平面所成角。本题可用综合法和空间向量法都可以。运用空间向量法对计算的要求要高些。

（Ⅰ）解法1：在如图1所示的△中，设，则．

由，知，△为等腰直角三角形，所以.

由折起前知，折起后（如图2），，，且，

所以平面．又，所以．于是

，

当且仅当，即时，等号成立，

故当，即时, 三棱锥的体积最大．                  

解法2：

同解法1，得．  

令，由，且，解得．

当时，；当时，．

所以当时，取得最大值．

故当时, 三棱锥的体积最大．                           

（Ⅱ）解法1：以为原点，建立如图a所示的空间直角坐标系．

由（Ⅰ）知，当三棱锥的体积最大时，，．

于是可得，，，，，，

且．

设，则. 因为等价于，即

，故，.

所以当（即是的靠近点的一个四等分点）时，．   

设平面的一个法向量为，由 及，

得 可取．

设与平面所成角的大小为，则由，，可得

，即．

故与平面所成角的大小为                                

解法2：由（Ⅰ）知，当三棱锥的体积最大时，，．

如图b，取的中点，连结，，，则∥.

由（Ⅰ）知平面，所以平面.

如图c，延长至P点使得，连，，则四边形为正方形，

所以. 取的中点，连结，又为的中点，则∥，

所以. 因为平面，又面，所以.

又，所以面. 又面，所以.

因为当且仅当，而点F是唯一的，所以点是唯一的.

即当（即是的靠近点的一个四等分点），．      

连接，，由计算得，

所以△与△是两个共底边的全等的等腰三角形，

如图d所示，取的中点，连接，，

则平面．在平面中，过点作于，

则平面．故是与平面所成的角．

在△中，易得，所以△是正三角形，

故，即与平面所成角的大小为