Question

（本小题满分13分）

设是单位圆上的任意一点，是过点与轴垂直的直线，是直线与 轴的交点，点在直线上，且满足. 当点在圆上运动时，记点M的轨迹为曲线．

（Ⅰ）求曲线的方程，判断曲线为何种圆锥曲线，并求其焦点坐标；

（Ⅱ）过原点且斜率为的直线交曲线于，两点，其中在第一象限，它在轴上的射影为点，直线交曲线于另一点. 是否存在，使得对任意的，都有？若存在，求的值；若不存在，请说明理由.

Answer

（Ⅰ）当时，曲线是焦点在轴上的椭圆，

两焦点坐标分别为，；

当时，曲线是焦点在轴上的椭圆，

两焦点坐标分别为，.

（Ⅱ）故存在，使得在其对应的椭圆上，对任意的，都有.

【解析】本题主要考察求曲线的轨迹方程、直线与圆锥曲线的位置关系，要求能正确理解椭圆的标准方程及其几何性质，并能熟练运用代数方法解决几何问题，对运算能力有较高要求。

（Ⅰ）如图1，设，，则由，

可得，，所以，.            ①

因为点在单位圆上运动，所以.                  ②

将①式代入②式即得所求曲线的方程为.        

因为，所以

当时，曲线是焦点在轴上的椭圆，

两焦点坐标分别为，；

当时，曲线是焦点在轴上的椭圆，

两焦点坐标分别为，.                           

（Ⅱ）解法1：如图2、3，，设，，则，，

直线的方程为，将其代入椭圆的方程并整理可得

.

依题意可知此方程的两根为，，于是由韦达定理可得

，即.

因为点H在直线QN上，所以.

于是，.     

而等价于，

即，又，得，

故存在，使得在其对应的椭圆上，对任意的，都有.

解法2：如图2、3，，设，，则，，

因为，两点在椭圆上，所以 两式相减可得

.                          ③             

依题意，由点在第一象限可知，点也在第一象限，且，不重合，

故. 于是由③式可得

.                              ④

又，，三点共线，所以，即.                

于是由④式可得.

而等价于，即，又，得，

故存在，使得在其对应的椭圆上，对任意的，都有.