Question

本小题满分14分）

（Ⅰ）已知函数，其中为有理数，且. 求的最小值；

（Ⅱ）试用（Ⅰ）的结果证明如下命题：设，为正有理数. 若，则；

（Ⅲ）请将（Ⅱ）中的命题推广到一般形式，并用数学归纳法证明你所推广的命题.

注：当为正有理数时，有求导公式.

Answer

详见解析

【解析】本题主要考察利用导数求函数的最值，并结合推理，考察数学归纳法，对考生的归纳推理能力有较高要求。

（Ⅰ），令，解得.

当时，，所以在内是减函数；

当  时，，所以在内是增函数.

故函数在处取得最小值.                               

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，当时，有，即   ①

若，中有一个为0，则成立；

若，均不为0，又，可得，于是

在①中令，，可得，

即，亦即.

综上，对，，为正有理数且，总有.   ②

（Ⅲ）（Ⅱ）中命题的推广形式为：

设为非负实数，为正有理数.

若，则.            ③    

用数学归纳法证明如下：

（1）当时，，有，③成立.                      

（2）假设当时，③成立，即若为非负实数，为正有理数，

且，则.                

当时，已知为非负实数，为正有理数，

且，此时，即，于是

=.

因，由归纳假设可得

，

从而.

又因，由②得

，

从而.

故当时，③成立.

由（1）（2）可知，对一切正整数，所推广的命题成立.                   

说明：（Ⅲ）中如果推广形式中指出③式对成立，则后续证明中不需讨论的情况.