Question

（10分）已知数列中，，，其前项和

满足．

（Ⅰ）求证：数列为等差数列，并求的通项公式；

（Ⅱ）设为数列的前项和，求

（Ⅲ）若对一切恒成立，求实数的最小值.

Answer

【解析】
（Ⅰ） ；

（Ⅱ） ；

（Ⅲ）的最小值为

【解析】本试题主要是考查了数列的通项公式的求解和前n项和的求解，以及不等式的恒成立问题的运用。

（1）由已知， （，），且

数列是以为首项，公差为1的等差数列．∴

（2）因为

利用裂项求和得到前n项和的结论。

（3），∴≤ 

∴≥ 

运用分离参数的思想求解其范围。

【解析】
（Ⅰ）由已知， （，），且

数列是以为首项，公差为1的等差数列．∴…………3分

（Ⅱ）

 …………6分

（Ⅲ），∴≤ 

∴≥ 

又≤ ，（也可以利用函数的单调性解答）

∴的最小值为               …………………………………10分