Question

（14分）已知：圆C：x²＋（y－a）²＝a²（a＞0），动点A在x轴上方，圆A与x轴相切，且与圆C外切于点M

    （1）若动点A的轨迹为曲线E，求曲线E的方程；

    （2）动点B也在x轴上方，且A，B分别在y轴两侧．圆B与x轴相切，且与圆C外切于点N．若圆A，圆C，圆B的半径成等比数列，求证：A，C，B三点共线；

    （3）在（2）的条件下，过A，B两点分别作曲线E的切线，两切线相交于点T，若的最小值为2，求直线AB的方程．

Answer

 (1) 曲线的方程为 ；(2)见解析；(3)直线的方程为：.

【解析】本试题主要是考查了圆锥曲线的方程的求解，以及斜率公式和韦达定理以及三角形的面积公式的综合运用。

（1）利用设点的坐标，得到关于该点的几何关系是，代数化，得到结论。

（2）要证明三点共线，只要证明任何两点的斜率相同即可，结合坐标表示和题目中得到结论

（3）由(2)知三点共线，且直线有斜率，设直线：，联立得：.结合韦达定理和点到直线的距公式和三角形面积公式得到参数的最值，进而得直线到方程。

【解析】
(1)设则，   

 曲线的方程为……………3分

 (2) 同(1)知，动点轨迹也为曲线:…………..4分

设不妨令

由已知得，即…………….. 6分

即三点共线……………………..8分

(3)由(2)知三点共线，且直线有斜率，设直线：，联立得：.

由题意，为切点，设，不妨令

则： ………………9分

直线，即  ①

同理， 直线：  ②，

由①②解得，

即：…………..11分

到直线的距离

令……12分

令则

      时，

     此时，直线的方程为：…………………………………..14分