Question

已知函数f(x)=1 .

(1)试讨论函数f(x)的单调性；

(2)若  ,且f(x)在区间[1,3]上的最大值为M(a) ，最小值为N(a)，

令g(a)= M(a)-N(a),求 g(a)的表达式,试求g(a)的最小值.

Answer

（1）a=0,y=f(x)在R上单调递减

a>0时,对称轴是x=, 增区间,减区间是

a<0时,对称轴是x=, 增区间,减区间是

(2)g(a)=，易得 g(a)最小值是

【解析】本试题主要是考查了含有参数二次函数的单调性和函数的最值的问题的运用。

（1）对参数a分类讨论，得到不同性质的函数，分析其单调性。

（2）因为 ,且f(x)在区间[1,3]上的最大值为M(a) ，最小值为N(a)，结合上一问的结论得到最值，然后令g(a)= M(a)-N(a),整体来分析新函数的最值即可。

（1）a=0,y=f(x)在R上单调递减

a>0时,对称轴是x=, 增区间,减区间是

a<0时,对称轴是x=, 增区间,减区间是

(2) 当，1≤≤3,N(a)=f()=1-,

当，即时，M(a)=f(3)=9a-5,所以g(a)=9a+-6

当，即时，M(a)=f(1)=a-1,所以g(a)=a+-2

综上g(a)=，易得 g(a)最小值是