Question

已知函数，，的最小值恰好是方程的三个根，其中。

（1）求证：；

（2）设，是函数的两个极值点。若，求函数的解析式。

Answer

（1）见解析（2）

【解析】【解析】
（1）三个函数的最小值依次为，，，由，得

∴

，

故方程的两根是，。

故，。

，即   ∴。

（2）①依题意是方程的根，故有，，

且△，得。

由

；得，，。

由（1）知，故，

∴ ，  ∴

本试题主要是考查了函数的最值的运用，以及导数在研究函数中的极值的运用，和函数解析式的求解的综合问题。

（1）根据已知条件得到三个最小值，然后代入到三次方程中的，到系数a,b,c的关系式。

（2）依题意可知求解原函数的导函数，说明是导函数为零的方程的两个根，然后利用韦达定理得到参数a,b的关系式，进而得到a的范围，从而确定a的值和b的值，求解得到解析式。