Question

 已知：函数在处取得极值，其中为常数.

（1）试确定的值；

（2）讨论函数的单调区间；

（3）若对任意，不等式恒成立，求c的取值范围.

Answer

（Ⅰ）

（Ⅱ）的单调递减区间为，而的单调递增区间为.

（Ⅲ）

【解析】(I)由f(1)的值，及可建立关于a,b的方程，求出a,b的值.

(2)由大于（小）零，确定函数的单调增（减）区间.

（3）在(2)的基础上，求出f(x)的最小值，根据f(x)min，解关于c的不等式即可.

（Ⅰ）由题意知，因此，从而.

又对求导得

由题意，因此，解得

（Ⅱ）由（Ⅰ）知.令，解得.

1

－

0

＋

↘

极小值

↗

因此的单调递减区间为，而的单调递增区间为.

（Ⅲ）由（Ⅱ）知，在处取得极小值，此极小值也是最小值.要使恒成立，只需.

即，从而.

解得或.所以c的取值范围为