Question

已知抛物线的顶点在坐标原点，准线的方程为，点在准线上，纵坐标为，点在轴上，纵坐标为．

（1）求抛物线的方程；

（2）求证：直线恒与一个圆心在轴上的定圆相切，并求出圆的方程.

Answer

（1）；（2）. 

【解析】（1）根据准线方程与标准方程的对应关系直接可求出抛物线方程.

(2) 由题意可知，，所以直线

即：.下面证明的关键是先设圆心在轴上，且与直线相切的圆的方程为,则圆心到直线的距离为

即：或,所以：或对于任意恒成立即可.

（1）设抛物线的方程为

因为准线的方程式，所以，因此抛物线的方程为--------5分

（2）由题意可知，，所以直线

即：------------------------7分

设圆心在轴上，且与直线相切的圆的方程为

则圆心到直线的距离为

即：或--------------------9分

所以：或对于任意恒成立.

即：或

解得: 因此直线恒与一个圆心在轴上的定圆相切，圆的方程为.     -----------------------------12分