Question

（本题满分12分）

已知为实数，，为的导函数.

（1）求导数；

（2）若，求在上的最大值和最小值；

（3）若在和上都是递增的，求的取值范围．

Answer

（1）.

（2）在上的最大值为，最小值为.

（3）.

【解析】本试题主要是考查了导数的几何意义的运用和导数在研究函数最值的思想的运用，和利用单调性，逆向求解参数的取值范围的综合运用。

（1）主要是考查了初等函数的导数的计算。

（2）由由，得得到解析式，然后确定解析式后再求解导数，分析函数的单调性，得到最值。

（3）如果函数在给定区间单调递增，说明在该区间导数值恒大于等于零，分离参数的思想求解得到。

【解析】
（1）.

（2），.

由，得，此时，，

由，得或.

又，，，

在上的最大值为，最小值为.

（3）解法一，

依题意：对恒成立,即

,所以

对恒成立,即

,所以

综上: .

解法二，的图像是开口向上且过点的抛物线，由条件得，，

，.解得. 的取值范围为．