Question

设椭圆M：的离心率与双曲线的离心率互为倒数，且内切于圆．

（1）求椭圆M的方程；

（2）若直线交椭圆于A、B两点，是椭圆M上的一点，求面积的最大值．

Answer

（1）．

 (2 ) 当且仅当取等号∴ .

【解析】本试题主要是考查了椭圆的方程的求解，以及直线与椭圆的位置关系的综合运用。

（1）因为双曲线的离心率为公式

，以及圆的直径得打a的值，从而得到椭圆的方程。

（2）设直线AB的直线方程：.

，然后联立方程组，结合韦达定理和点到直线的距离公式表示三角形的高，得到三角形的面积的求解。

（1）双曲线的离心率为，则椭圆的离心率为 

得：  所求椭圆M的方程为．

 (2 ) 直线的直线方程：.

由，得，

由，得

∵， .

∴

又到的距离为.

则

当且仅当取等号∴ .