Question

已知定义在R上的函数f(x)＝x²(ax－3)，其中a为常数.

 (Ⅰ)若x＝1是函数f(x)的一个极值点，求a的值；

(Ⅱ)若函数f(x)在区间（－1，0）上是增数，求a的取值范围.

Answer

【解析】
(Ⅰ)a＝2； (Ⅱ)a≥－2.  

【解析】本试题主要是考查了导数在研究函数中的运用。

（1）根据f(x)＝ax3－3x，f¢(x)＝3ax2－6x＝3x(ax－2),因为x＝1是f(x)的一个极值点，∴f¢(1)＝0得到参数a的值。

（2）函数f(x)在区间（－1，0）上是增数，说明导函数在给定区间恒大于等于零，既可以运用分离参数的思想求解得到参数的范围。

【解析】
(Ⅰ)f(x)＝ax3－3x，f¢(x)＝3ax2－6x＝3x(ax－2),。。。。。。。。。。。。。。。。。。

∵x＝1是f(x)的一个极值点，∴f¢(1)＝0，。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。 

∴a＝2；                                 。。。。。。。。。。。。。。。。。。。

(Ⅱ)①当a＝0时，f(x)＝－3x2在区间（－1，0）上是增函数，∴a＝0符合题意；

②当a≠0时，f¢(x)＝3ax(x－)，由f¢(x)＝0，得x＝0，x＝

当a＞0时，对任意x∈(－1，0)，f¢(x)＞0，∴a＞0符合题意；。。。。。。。。。。

当a＜0时，当x∈(，0)时，由f¢(x)＞0，得≤－1，∴－2≤a＜0符合题意；。。

综上所述，a≥－2.                                               。。。。。