Question

 如图，在长方体中，分别是的中点，分

的中点，

（Ⅰ）求证：面；

（Ⅱ）求二面角的大小。

（Ⅲ）求三棱锥的体积。

Answer

（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）二面角的余弦值为  ；

（Ⅲ）  。

【解析】本试题主要是考查了立体几何中线面平行的证明，以及二面角的求解和锥体体积的计算的综合运用。

（1）利用线面平行的判定定理可知找到线线平行，从而得到结论。

（2）建立空间直角坐标系，然后表示平面的法向量，运用向量的夹角公式得到二面角的平面角的大小

（3）根据锥体体积的公式，利用底面积和高度来求解得到。

【解析】
以为原点，所在直线分别为轴，轴，轴，建立直角坐标系，

       则：

∵分别是的中点

∴

（Ⅰ）

       取，显然面

        ，∴

又面  ∴面            。。。。。。。。。。。

（Ⅱ）过作，交于，取的中点，则∵

设，则

又

由，及在直线上，可得:

解得

∴ ∴   即

∴与所夹的角等于二面角的大小

故：二面角的余弦值为                    。。。。。

（Ⅲ）设为平面的法向量，则

     又

∴    即   ∴可取

     ∴点到平面的距离为

    ∵， 

     ∴

     ∴            。。。。。。