Question

(13分)一个同心圆形花坛，分为两部分，中间小圆部分种植绿色灌木，周围的圆环分为n(n≥3，n∈N)等份，种植红、黄、蓝三色不同的花，要求相邻两部分种植不同颜色的花.

⑴ 如图1，圆环分成的3等份为a₁，a₂，a₃，有多少不同的种植方法？

如图2，圆环分成的4等份为a₁，a₂，a₃，a₄，有多少不同的种植方法？

⑵ 如图3，圆环分成的n等份为a₁，a₂，a₃，……，a_n，有多少不同的种植方法？

Answer

)⑴如图1，先对a1部分种植，有3种不同的种法，再对a2、a3种植，

因为a2、a3与a1不同颜色，a2、a3也不同。 所以S（3）=3×2=6（种）。

如图2，S（4）=3×2×2×2－S（3）=18（种）。

⑵

【解析】本试题主要考查了排列组合的运用，解决实际问题，同时也考查了数列的求和的运用，数列的概念的综合试题。

（1）先对a1部分种植，有3种不同的种法，再对a2、a3种植，

因为a2、a3与a1不同颜色，a2、a3也不同。 所以S（3）=3×2=6（种）。………3分

如图2，S（4）=3×2×2×2－S（3）=18（种）

（2）圆环分为n等份，对a1有3种不同的种法，对a2、a3、…、an都有两种不同的种法，但这样的种法只能保证a1与ai（i=2、3、……、n－1）不同颜色，但不能保证a1与an不同颜色.

于是一类是an与a1不同色的种法，这是符合要求的种法，记为种. 另一类是an与a1同色的种法，这时可以把an与a1看成一部分，这样的种法相当于对n－1部分符合要求的种法，记为.共有3×2n－1种种法

因此可得到，进而分析求解。

)⑴如图1，先对a1部分种植，有3种不同的种法，再对a2、a3种植，

因为a2、a3与a1不同颜色，a2、a3也不同。 所以S（3）=3×2=6（种）。………3分

如图2，S（4）=3×2×2×2－S（3）=18（种）。………………………………………6分

⑵如图3，圆环分为n等份，对a1有3种不同的种法，对a2、a3、…、an都有两种不同的种法，但这样的种法只能保证a1与ai（i=2、3、……、n－1）不同颜色，但不能保证a1与an不同颜色.

于是一类是an与a1不同色的种法，这是符合要求的种法，记为种. 另一类是an与a1同色的种法，这时可以把an与a1看成一部分，这样的种法相当于对n－1部分符合要求的种法，记为.

共有3×2n－1种种法.………………………………………………………………9分

这样就有.即，

则数列是首项为公比为－1的等比数列.……………10分

则

由⑴知：，∴.

∴.………………………………………………………12分

答：符合要求的不同种法有……………………………13分