Question

如图，在棱长是1的正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，点E，F，G分别是DD₁，BD，BB₁的中点.

（1）求证：EF⊥CF;

（2）求EF与CG所成的角的余弦值；

（3）求三棱锥G-CEF的体积.

Answer

(1)见解析   （2）EF与CG所成角的余弦值是 (3)

VG-CEF =

【解析】因此此几何休为正方体，易建立空间直角坐标系，用空间向量法解决。(1)只需证即可。

（2）用坐标借助公式求EF与CG的所成角的余弦值。

(3)利用三棱锥可换底的特性可其体积。即VG-CEF=VC-EFG.

建立如图所示的坐标系，则 ……1分

(1) ,…………2分因为：……3分

所以：即：EF⊥CF……………4分

（2）因为：…………5分

所以：即：EF与CG所成角的余弦值是

(3)CF⊥平面EFG,且CF=,     S△EFG=…………10分

VG-CEF=VC-EFG=