Question

（本题共10分）

将两块三角板按图甲方式拼好，其中，，，

，现将三角板沿折起，使在平面上的射影恰好在上，如图乙．

  

(Ⅰ)求证：平面；

(Ⅱ)求二面角的余弦值；

Answer

（1）见解析；（2）二面角的余弦值为。

【解析】本试题主要是考查了线面的垂直的证明以及二面角的求解的综合运用。

（1）根据已知条件，可知设在的射影为，则平面，

， 又，平面

，又，这样利用线线垂直可知得到结论。

（2）建立空间直角坐标系，然后分析点的坐标和向量的坐标，运用向量的夹角来求解两个平面的二面角的平面角的大小。

【解析】
（1）设在的射影为，则平面，

， 又，平面

，又，平面         ……………………4分

（2）由（1），又，  为中点

以为轴，为轴，过且与平行的直线为轴建系，则

设为平面的法向量，由，可得

易知为平面的法向量，

因为所求二面角是锐角，所以所求二面角的余弦值为。…………………10分