Question

（本小题满分14分）

如图①边长为1的正方形ABCD中，点E、F分别

为AB、BC的中点，将△BEF剪去，将

△AED、△DCF分别沿DE、DF折起，使A、

C两点重合于点P得一个三棱锥如图②示.              

（1）求证：;

（2）求三棱锥的体积；                

（3）求DE与平面PDF所成角的正弦值.                                                        

Answer

（1）证明：见解析；

(2) ．

 (3)     

【解析】本试题主要考察了线面角的求解，以及垂体的体积的运用，和线线垂直的证明的综合运用。

（1）依题意知图①折前,∴,

∵    ∴平面又∵平面，利用线面垂直的性质定理得到结论。

（2）三棱锥的体积可以利用转换顶点的思想来求解得到。

（3）根据由（2）知  又     ∴平面

∴为DE与平面PDF所成的角，然后借助于三角形得到求解。

（1）证明：依题意知图①折前,∴,

∵    ∴平面又∵平面      

 ∴

(2)解法1：依题意知图①中AE=CF= ∴PE= PF=，在△BEF中,

在中，

∴

∴．

【(2)解法2：依题意知图①中AE=CF= ∴PE= PF=，

在△BEF中,

取EF的中点M，连结PM

则,∴

∴

∴．

 (3) 由（2）知  又     ∴平面

∴为DE与平面PDF所成的角，

在中，∵, 

∴