Question

已知数列的前项和满足.

（1）写出数列的前三项；

（2）求数列的通项公式；

（3）证明：对任意的整数，有.

Answer

（１） 由由

由

（２）

（３）见解析.

【解析】.

（1）因为数列的前项和满足，那么对于n令值，边可以写出数列的前三项；

（2）根据前几项归纳猜想数列的通项公式；再用数学归纳法加以证明。或者里利用迭代思想，得到通项公式。

（3）利用放缩法得到求和，并证明不等式。

（１）为了计算前三项的值，只要在递推式中，对取特殊值，就可以消除解题目标与题设条件之间的差异．

由

由

由

（２）为了求出通项公式，应先消除条件式中的．事实上

当时，有

即有

从而

  …… 

接下来，逐步迭代就有

经验证a1也满足上式，故知

其实，将关系式和课本习题作联系，容易想到：这种差异的消除，只要对的两边同除以，便得

．

令就有

，

于是         ，

这说明数列是等比数列，公比 首项，从而，得

，

即 ，

   故有

（３）由通项公式得

当且n为奇数时， 

当为偶数时，

当为奇数时，为偶数，可以转化为上面的情景

故任意整数m>4，有