Question

如图所示，已知长方体中，，是棱上的点，且。

（1）求的长；

（2）求证：平面；

（3）求与平面所成角的正弦值。

Answer

（1）(2)见解析（3） 与平面所成角的正弦值为。

【解析】本试题主要是求解空间几何体中线段的长度以及线面垂直的判定以及线面角的大小的求解的综合运用。

（1）建立空间直角坐标系，然后表示点的坐标利用向量的模长来表示线段的长度。

（2）要证明线面的垂直问题，只要证明线线垂直，利用判定定理得到结论。

（3）利用平面的法向量和直线的的方向向量来表示线面角的的大小，结合数量积的性质得到向量的夹角，然后利用诱导公式得到结论。