Question

某汽车生产企业上年度生产一品牌汽车的投入成本为10万元/辆，出厂价为13万元/辆，年销售量为5000辆.本年度为适应市场需求，计划提高产品档次，适当增加投入成本，若每辆车投入成本增加的比例为（0＜＜1，则出厂价相应提高的比例为0.7，年销售量也相应增加.已知年利润=（每辆车的出厂价－每辆车的投入成本）×年销售量.

（1）若年销售量增加的比例为0.4，为使本年度的年利润比上年度有所增加，则投入成本增加的比例应在什么范围内？

（2）在（1）的条件下，当为何值时，本年度的年利润最大？最大利润为多少？

Answer

（1）   (2) 时，有最大值为15312.5（万元）

【解析】本试题主要是考查了函数在实际生活中的运用，求解了利润的最值问题。表示出函数解析式，并利用函数的单调性来解决即可。

（1）因为利润等于收入减去成本，那么先求解总的收入，以及成本，作差可以得到。由题意得：本年度每辆车的投入成本为10×（1+x）；出厂价为13×（1+0.7x）；年销售量为5000×（1+0.4x），

（2）在第一问的基础上可知得到利润函数是关于x的二次函数，然后根据二次函数的性质，得到最值。注意定义域的细节性。