如图，在四棱锥P—ABCD中，PA⊥平面ABCD，四边形ABCD为正方形，PA＝...

如图，在四棱锥P—ABCD中，PA⊥平面ABCD，四边形ABCD为正方形，PA＝AB＝4，

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G为PD中点，E点在AB上，平面PEC⊥平面PDC.

（Ⅰ）求证：AG⊥平面PCD；

（Ⅱ）求证：AG∥平面PEC；

（Ⅲ）求点G到平面PEC的距离.

（Ⅰ）证明：见解析；（Ⅱ）证明：见解析；（Ⅲ）G点到平面PEC的距离为. 【解析】本试题主要考查了线面的位置关系的运用，点到面的距离的求解。线面平行的判定和线面垂直的判定的综合运用。（1）由于CD⊥AD，CD⊥PA ∴CD⊥平面PAD ∴CD⊥AG又PD⊥AG，从而由判定定理得到结论。（2）作EF⊥PC于F，因面PEC⊥面PCD ∴EF⊥平面PCD，又由（Ⅰ）知AG⊥平面PCD，故EF∥AG可知线面平行。（3）由AG∥平面PEC知A、G两点到平面PEC的距离相等由（Ⅱ）知A、E、F、G四点共面，又AE∥CD ∴ AE∥平面PCD ∴ AE∥GF，∴ 四边形AEFG为平行四边形，∴ AE＝GF，然后利用转换顶点得到体积的求解。解（Ⅰ），证明：∵CD⊥AD，CD⊥PA ∴CD⊥平面PAD ∴CD⊥AG 又PD⊥AG ∴AG⊥平面PCD …………4分（Ⅱ）证明：作EF⊥PC于F，因面PEC⊥面PCD ∴EF⊥平面PCD，又由（Ⅰ）知AG⊥平面PCD ∴EF∥AG，又AG 面PEC，EF 面PEC， ∴AG∥平面PEC ………………7分（Ⅲ）由AG∥平面PEC知A、G两点到平面PEC的距离相等由（Ⅱ）知A、E、F、G四点共面，又AE∥CD ∴ AE∥平面PCD ∴ AE∥GF，∴ 四边形AEFG为平行四边形，∴ AE＝GF ……………8分 ∥ ＝ PA＝AB＝4， G为PD中点，FG CD ∴ FG＝2 ∴ AE＝FG＝2 ………………………9分 ∴ ………………………10分又EF⊥PC，EF＝AG ∴ ………………………11分又，∴，即，∴ ∴ G点到平面PEC的距离为. ………………………12分网

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考点分析：

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